运动的牛顿第二定律给出了任意物体与作用其上的力的关系，原则上运动里的任何问题都可以被解决。例如，定义一些粒子的运动，我们可以使用在之前的章节里开发出来的数值型方法。但是更进一步地学习牛顿定律有一些很棒的理由。首先，有一些相当简单的运动示例，不仅可以通过数值型的方法分析，而且可以直接使用数学分析。例如，虽然我们知道一个坠落物体的加速度是 32 英尺/秒，并且基于这个事实可以通过数值型的方法计算运动，但是可以更加容易也更加令人满意地分析运动并且找到通用的答案， $s=s_0+v_0t+16t^2$ 。相同地，虽然我们可以通过数值型的方法搞定一个谐振子的位移，但是分析表明通用的解决方案是一个简单的 t 的 cosine 函数，所以当存在一个简单且更加精确地获得结果的方法时，完全没必要去搞算术。相同地，虽然围绕太阳的一个物体运动，是由引力决定的，它可以通过第九章的数值型方法一点儿一点儿地计算出来，其显示出轨道的大致形状，也能够得到准确的形状，分析表明它是一个完美的椭圆。

不幸的是，只有非常少的问题可以通过分析正确地解决。在谐振子的示例中，如果弹簧的作用力不与位移成正比，而是某种更复杂的，我们就得回到数值型的方法上。或者有两个正在围绕太阳运转的物体，物体的总数是三个，那么分析就无法生成一个简单的运动公式，实际上，该问题必须通过数值解决。这就是著名的三体问题，它在很长的时间里挑战人类的分析能力；人们花了多长时间才意识到数学分析的能力是有限的，或许有必要使用数值型的方法，确实蛮有意思。现在非常多的无法使用分析完成的问题被数值型的方法解决，并且旧的三体问题，之前被认为是极其困难的，现如今采用普通的方式就能解决，正是我们之前所描述的，通过做足够的算术。然而，也有一些情形是两种方法都搞不定的：简单的问题我们可以通过分析，中等难度的问题可以通过数值，但是非常复杂的问题我们不能通过任一方法处理。一个复杂的问题是，比如，两辆汽车相撞，或者气体的分子运动。在气体的一个立方毫米中有着数不清的粒子，对如此多的变量（大约 $10^{17}$ —— a hundred million billion）做计算是不明智的。任何类似分子的运动或者一种气体的运动或者一块铁或者在一个球状星团里的恒星运动，而不仅仅是两三个围绕太阳运转的行星——这样的问题我们无法直接处理，所以需要寻找其他的方法。

在一些我们无法知晓细节的情况里，我们需要了解某些通用的属性，也就是，通用的理论或者原理，它们是牛顿定律的产物。其中之一是能量守恒原理，在第四章被讨论过。另一个是动量守恒原理，是本章节的内容。更加深入学习运动的另一个理由是有一些确定的运动模式，它们在许多不同的环境里是重复的，所以在一个特定的环境中学习这些模式还是蛮不错的。比如说，我们会学习碰撞，不同类别的碰撞有太多的相似性。在流体运动中，流体是什么没有多大区别，流体的定律是相似的。我们要学习的其他问题是振动和震荡，还有机械波的离奇现象——声音、杆子的振动等等。

在我们有关牛顿定律的讨论中，它们曾被解释为一种项目，叫做“关注作用力”，牛顿仅仅给出有关自然作用力的两件事儿。在引力的示例中，他给出了作用力的完整定律。在原子之间的非常复杂的作用力的示例中，他没有意识到有关作用力的正确定律；然而，他发现了其中一条规则，作用力的一个通用属性，在牛顿第三定律中被阐述出来，这就是牛顿所了解的自然作用力的全部知识——引力定律和下面一则原理，除此之外，再无其他。

这条原理是作用等于反作用。

它是什么意思呢？假设我们有两个小的物体，比如，粒子，如果第一个在第二个上面施加了一个作用力，用一个确定的作用力推它。然后，在同一时间，第二个粒子将会用一个相等的作用力推第一个，以相反的方向，更进一步，这些作用力在同一条线上。这就是牛顿所阐释的假说，或者定律，它看起来相当精确，但是其实不是（稍后我们会谈论它的错误）。此刻我们应该把它当作真的，作用等于反作用。当然，如果有第三个粒子，与其他两个粒子不在同一条线上，这条定律就不是在第一个上面的全部作用力等于在第二个上面的全部作用力，因为第三个粒子在其他每一个粒子上施加了自己的推力。结果是在前两个上面的全部效果沿着某个其他方向，并且在前两个粒子上的作用力，通常情况下，既不相等，也不相反。然而，在每一个粒子上的作用力可以被拆分成部分，之所以会有其中之一的构成，或者部分是由于其他每一个与之交互的粒子造成的。然后，每一对粒子都有对应的交互部分，它们在数值上相等，在方向上相反。