现在我们需要描述定律，或者规则，以各种各样的方式合并向量。第一个融合是两个向量的和：假设 $a$ 是一个向量，位于某个特定的坐标系中，它拥有三个部分 $(a_x, a_y, a_z)$ ， $b$ 是另一个向量，拥有三个部分 $(b_x, b_y, b_z)$ 。现在让我们生成三个新的数字 $(a_x+b_x, a_y+b_y, a_z+b_z)$ 。它们会形成一个向量吗？我们或许会说，“它们是三个数字，任意三个数字都会形成一个向量。”不，并不是任意三个数字都会形成一个向量！为了让它成为一个向量，不仅仅需要三个数字，还需要关联一个坐标系，只有这样，在我们旋转坐标系时，这三个数字才会彼此旋转、混合，它们遵循我们之前所描述的精确的定律。所以问题变为，如果我们现在旋转坐标系， $(a_x, a_y, a_z)$ 变为 $(a_{x^{‘}}, a_{y^{‘}}, a_{z^{‘}})$ ， $(b_x, b_y, b_z)$ 变为 $(b_{x^{‘}}, b_{y^{‘}}, b_{z^{‘}})$ ，那么 $(a_x+b_x, a_y+b_y, a_z+b_z)$ 会变成什么？它们会变成 $(a_{x^{‘}}+b_{x^{‘}}, a_{y^{‘}}+b_{y^{‘}}, a_{z^{‘}}+b_{z^{‘}})$ 吗？答案当然是，Yes！因为 Eq.11.5 的原型转换构成了一个线性转换。如果我们把那些转换应用到 $a_x$ 和 $b_x$ ，得到 $a_{x^{‘}}+b_{x^{‘}}$ ，我们发现转换过后的 $a_x+b_x$ 与 $a_{x^{‘}}+b_{x^{‘}}$ 相同。当 $a$ 和 $b$ 相加在一起，它们会形成一个向量，我们称之为 c 。我们写作：
\[c=a+b\]c 拥有如下特性：
\[c=b+a\]因此，我们可以写出：
\[a+(b+c)=(a+b)+c\]我们可以以任意顺序添加向量。
$a+b$ 的几何含义是什么？如果 $a$ 和 $b$ 由一页纸上的线段表示， $c$ 看起来会是什么样的？如图 Fig.11-4 所示。我们可以极为方便地把 $b$ 的部分添加到 $a$ 的部分，如果我们把表示 $b$ 的部分的矩形放置在表示 $a$ 的部分的矩形的旁边。因为 $b$ 正好契合它的矩形，就像 $a$ 那样，所以这跟我们把 $b$ 的“尾部”放在 $a$ 的“头部”是一模一样的，由 $a$ 的“尾部”指向 $b$ 的“头部”形成了向量 $c$ 。如果我们添加 $a$ 到 $b$ ，我们可以把 $a$ 的“尾部”放到 $b$ 的“头部”，由于平行四边形的几何特性，我们会得到相同的结果 $c$ 。请注意，向量可以使用这种方式相加，无须参照任何坐标轴。
假设我们用一个数字 $\alpha$ 乘以一个向量，这意味着什么？我们把它定义为一个新的向量，它的部分是 $\alpha a_x, \alpha a_y, \alpha a_z$ 。我们把这个问题留给学生，证明它是一个向量。
现在让我们考虑向量减法。我们或许可以像加法那样定义减法，不是相加，而是减去部分。或许我们可以通过定义一个负的向量， $-b=-1b$ ，来定义减法，然后把这些部分相加。它们是一样的。结果如图 Fig.11-5 所示。它表明 $d=a-b=a+(-b)$ 。我们也注意到 $a-b$ 的差值可以很容易地被找到，通过运用相等的关系式 $a=b+d$ 。因此差值甚至要比求和更容易找到，我们只需从 $b$ 划到 $a$ ，就能得到 $a-b$ ！
接下来我们讨论速度。速度为什么是一个向量？如果位置由三个坐标 $(x, y, z)$ 给出，那速度呢？速度由 $dx/dt, dy/dt, dz/dt$ 给出。它是一个向量吗？我们可以通过求导表达式 Eq.11.5，从而搞明白 $dx^{‘}/dt$ 是否会以正确的方式转换。我们看到部分 $dx/dt$ 和 $dy/dt$ 确实依照与 x 和 y 相同的定律转换了，因此时间导数是一个向量。所以速度是一个向量。我们可以把速度写作：
\[v=d\boldsymbol{r}/dt\]速度是什么，为什么它是一个向量，也可以更加图形化地被理解：一个粒子在一个很短的时间 $\Delta{t}$ 中移动了多远？答案是： $\Delta{r}$ ，所以如果一个粒子在一个瞬间在“这儿”，在另一个瞬间在“那儿”，然后位置的向量差 $\Delta{r}=r_2-r_1$ ，它沿着如图 Fig.11-6 所示的运动方向，除以时间间隔 $\Delta{t}=t_2-t_1$ ，是“平均速度”向量。
我们可以通过极限，伴随着 $\Delta{t}$ 趋近于零，在时间 $t+\Delta{t}$ 和时间 $t$ 上的半径向量的差，除以 $\Delta{t}$ ， 表示向量速度。
\[v=\lim_{\Delta{t} \to 0}(\Delta{\boldsymbol{r}}/\Delta{t})=d\boldsymbol{r}/dt\]因此速度是一个向量，因为它是两个向量的差。它也是速度的正确定义，因为它的部分是 $dx/dt$ 、 $dy/dt$ 以及 $dz/dt$ 。实际上，从该论述中我们看到，如果我们求导相对时间的任意向量，我们就能生成一个新的向量。所以我们有几种生成新的向量的方法：（1）乘以一个常数；（2）相对时间求导；（3）相加或相减两个向量。