上面的是一系列有关对称（物理定律）的较为复杂的论述的第一个。下一个论述是我们选择什么方向的坐标轴不会有区别。换句话说，如果我们在某个地方构造了一个设备，观察它的运行，在附近我们构造了一个相同的装置，不过让它上移了一个角度，它会以相同的方式运行吗？很明显它不会，如果它是一个祖父的摆钟的话！如果摆钟保持垂直的话，它会工作，但是如果把它倾斜，钟摆会碰到内壁，什么都不会发生。这条理论在摆钟的示例中是错的，除非我们包含地球，它一直拉着钟摆。如果我们相信在旋转中物理定律对称，我们可以作出有关摆钟的预测：在时钟机械旁边，某些其他东西被包含在摆钟的操作中，我们应该在它外部寻找某些东西。我们似乎也可以预测出摆钟不会以相同的方式工作，当它被放在不同的地方（相较这个神秘的非对称源），或许是地球。我们知道摆钟在人造卫星上不会走动，因为没有有效的作用力，在火星上它会以不同的速率运行。摆钟确实包含了更多的东西，相较于内部的机械，它们包含外部的某些东西。一旦我们意识到这个因素，我们一定会让地球随着装置一起转动。当然我们无须担心；只需简单地等待一会儿，地球就会转动；然后钟摆会在新的位置上再次走动，与之前一样。当我们在旋转时，角度总是在改变；这个变化看起来并不会烦扰我们，因为我们在新的位置上所处的条件看上去与在旧的位置上的一致。这个确实困扰了一些人，因为在新的旋转位置上的定律与在未旋转位置上的相同，是对的，但是我们转动一个物体所遵守的定律与我们未转动它所遵守的相同，是错的。如果我们做非常细致的实验，我们可以说地球一直在旋转，而不是旋转了。换句话说，我们无法定位角的位置，但是我们可以说它一直在改变。
现在我们或许可以讨论物理定律中角方向的效果。让我们看看乔和莫的游戏是否会再次奏效。这一次，为了避免太复杂，我们假设乔和莫使用相同的原点（我们已经看到坐标轴可以平移到另一个地方）。假设莫的坐标轴相较乔的旋转了一个角度 $\theta$ 。两个坐标系如图 11-2 所示。任意的点 P 在乔的系统里的坐标是 $(x, y)$ ，在莫的系统里的坐标是 $(x^{‘}, y^{‘})$ 。我们应该跟上一章的例子一样，使用 $x$ 、 $y$ 和 $\theta$ 表示 $x^{‘}$ 和 $y^{‘}$ 。我们首先划出从 P 到四个坐标轴的垂直线并划出 AB 垂直于 PQ 。图形显示 $x^{‘}$ 可以写作两段长度的和，它们坐落在 $x^{‘}$ 轴上， $y^{‘}$ 写作两段长度的差，它们坐落在 AB 上。所有的这些长度都被表示为 $x$ 、 $y$ 和 $\theta$ ，参见等式 11.5，我们额外添加了一个等式。
eq-11-5
\[x^{'}=x\cos{\theta}+y\sin{\theta}\] \[y^{'}=y\cos{\theta}-x\sin{\theta}\] \[z^{'}=z\]接下来要分析由两位观察者所看到的作用力的关系，遵循跟之前一样的通用方法。让我们假设一个作用力 $F$ ，它已经被分析过，拥有 $F_x$ 部分和 $F_y$ 部分（由乔所看到的），作用在一个质量为 m 的粒子上，位于点 P，参见 Fig.11-2。为简化起见，我们移动两组坐标轴，让原点位于 P，如图 11-3 所示。莫看到 F 的部分坐落在他的坐标轴上， $F_{x^{‘}}$ 和 $F_{y^{‘}}$ 。 $F_x$ 有部分沿着 $x^{‘}$ 轴和 $y^{‘}$ 轴， $F_y$ 也有部分沿着这些轴。为了使用 $F_x$ 和 $F_y$ 表示 $F_x^{‘}$ ，我们把坐落于 $x^{‘}$ 轴上的这些部分相加，再以相似的方式使用 $F_x$ 和 $F_y$ 表示 $F_y{‘}$ 。结果是：
eq-11-6
\[F_{x^{'}}=F_x\cos{\theta}+F_y\sin{\theta}\] \[F_{y^{'}}=F_y\cos{\theta}-F_x\sin{\theta}\] \[F_{z^{'}}=F_z\]我们注意到一个意外，它非常重要，公式 11.5 和 11.6，对 P 的坐标和 F 的部分而言，它们的格式几乎完全一样。
跟之前一样，牛顿定律在乔的系统中被认为是对的，参见表达式 11.1。再问一次，莫能应用牛顿定律吗——对于他的旋转轴的系统，结果仍是正确的吗？换句话说，如果我们假设等式 11.5 和 11.6 给出了度量的关系，下面是正确的还是错误的？
eq-11-7
\[m(d^2x^{'}/dt^2)=F_{x^{'}}\] \[m(d^2y^{'}/dt^2)=F_{y^{'}}\] \[m(d^2z^{'}/dt^2)=F_{z^{'}}\]为了测试这些等式，我们可以单独地计算左边和右边，然后比较结果。让我们计算左边，我们把等式 11.5 乘以 m ，再求导两次，相对于时间，然后比较结果。这就给出：
eq-11-8
\[m(d^2x^{'}/dt^2)=m(d^2x/dt^2)\cos{\theta}+m(d^2y/dt^2)\sin{\theta}\] \[m(d^2y^{'}/dt^2)=m(d^2y/dt^2)\cos{\theta}-m(d^2x/dt^2)\sin{\theta}\] \[m(d^2z^{'}/dt^2)=m(d^2z/dt^2)\]我们计算等式 11.7 的右边，用等式 11.1 替换等式 11.6 。这就给出：
eq-11-9
\[F_{x^{'}}=m(d^2x/dt^2)\cos{\theta}+m(d^2y/dt^2)\sin{\theta}\] \[F_{y^{'}}=m(d^2y/dt^2)\cos{\theta}-m(d^2x/dt^2)\sin{\theta}\] \[F_{z^{'}}=m(d^2z/dt^2)\]快看！等式 11.8 和 11.9 的右边相等，因此我们总结如果牛顿定律在一组坐标轴上是正确的，那么它们在任意的其他坐标轴上也是有效的。对于坐标轴的平移和旋转，有确定的结果：第一，没有人可以说他的坐标轴是唯一的，但是对于特定的问题，它们会更方便。比如让引力沿着某个轴，但这不是必要的。第二，任意一个设备（它是完全地自给自足的），伴随着在装置内部完整生成作用力的所有设备，当它旋转一个角度时会工作的一样。