让我们看看在洛伦兹变换中还能发现其他什么东西。很有意思的是在 $x$ 与 $t$ 的等式之间的变换可以类比于 $x$ 和 $y$ 的等式的变换，我们之前在第 11 章学过坐标的旋转。我们知道

eq-15-8

\[\begin{align} x' &=x\cos \theta+y\sin \theta, \\ y' &=y\cos \theta-x\sin \theta, \end{align}\]

其中新的 $x’$ 混合了旧的 $x$ 和 $y$ ，新的 $y’$ 也混合了旧的 $x$ 和 $y$ ；相似的，在洛伦兹变换中我们发现，新的 $x’$ 是 $x$ 和 $t$ 的组合，新的 $t’$ 是 $t$ 和 $x$ 的组合。所以洛伦兹变换可以类比于一种旋转，它是一种在时空中的“旋转”，看起来是一个很奇怪的概念。类比于旋转的一个检查可以通过计算下面的值得出。

eq-15-9

\[x^{'2}+y^{'2}+z^{'2}-c^2t^{'2}=x^2+y^2+z^2-c^2t^2\]

在这个等式中的每一边的前三个元素表示，在三维几何中，在一个点与原点（一个球体的表面）之间的距离的平方，不管坐标轴如何旋转，该原点保持不变。相似的，等式 15.9 显示，有一个确定的组合，其中包含时间，对于洛伦兹变换来说，该组合不会改变。因此，该类比是完整的，它是这样一种向量——包含着“部分”的数值会随着坐标和时间发生相同的变换，在与相对论的关联中也非常有用。

因此我们细致地思考了向量概念的一个扩展，迄今为止我们只考虑了空间部分，现在多了一个时间部分。也就是，我们期待向量有四个部分，前三个与普通的向量部分类似，还有第四个，可以类比于时间部分。

这个概念在接下来的章节中会被进一步分析，我们应该会发现如果先前段落的观点被应用于动量，那么由此转换的三个空间部分会很像原始的动量部分（标量投影），而第四个，时间部分，是能量。