我们现在准备探索，更加通用的，力学定律在洛伦兹变换下是什么样的形式。【我们之前解释过长度和时间是如何的变化，但是并没有解释是如何得到修正版的公式，对于 $m$ （等式 15.1）。我们会在下一节去做。】为了看到爱因斯坦的修正结果，对于牛顿力学的 $m$ ，我们从牛顿定律出发，作用力是动量的变化率，或则

\[\boldsymbol{F}=d(m\boldsymbol{v})/dt\]

动量仍然是 $m\boldsymbol{v}$ ，但是当我们使用新 $m$ ，它变成

eq-15-10

\[\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}=\frac{m_0\boldsymbol{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]

这是牛顿定律的爱因斯坦修正版。在这个修正下，如果作用和反作用仍然是相等的（或许在细节之处不相等，但是从长远看，它们是相等的），动量与之前一样，将会守恒，守恒的数值不再是旧的 $m\boldsymbol{v}$ ，其中质量恒定，取而代之的，如等式 15.10 所示，它包含修正版的质量。当在动量公式中做这样的改变，动量守恒仍然奏效。

现在让我们看看动量是如何随着速率变化的。在牛顿力学中，它与速率成正比，根据 15.10，跨越了一个很大的速率区间，但是与 $c$ 相比很小，在相对力学中基本相同，因为平方根表达式跟 1 相差无几。但是当 $v$ 几乎等于 $c$ 时，平方根表达式差不多为 0，动量因此趋近于无穷大。

如果一个恒定的力长久地作用在一个物体上会发生什么？在牛顿力学中，物体会持续加速，直到超过光速。但是在相对力学中，这是不可能的。在相对论中，物体持续获得的，不是速率，而是动量，它能持续增加是因为质量在增加。过了一会儿，在物体的速度中不会再有加速度，但是动量会持续增加。当然，如果一个作用力对物体的速度造成轻微的改变，我们说该物体拥有强大的惯性，这就是我们的公式对相对质量的阐述——当 $v$ 接近于 $c$ 时，惯性非常大。举一个这种效果的例子，为了在加州理工学院的同步加速器中改变高速电子，我们需要的磁场强度要比在牛顿定律中所预期的强 2000 倍。换言之，在同步加速器中的电子质量要比它们的正常质量大 2000 倍，也就是一个质子的质量！ $m$ 应该是 $2000 \times m_0$ ，意味着 $1-v^2/c^2$ 一定是 $1/4,000,000$ ， $v$ 与 $c$ 相差 $1/8,000,000$ ，所以电子非常接近光速。如果电子和光都从同步加速器中启动（大概 700 英尺开外），直接冲到 Bridge Lab ，谁会先到？光，毋庸置疑，因为光总是跑得更快。有多快呢？这个很难讲——我们不说时间，而说光提前了多少距离：大概是 1 英寸的 $1/1000$ ，或者一张纸的 $1/4$ 厚度！当电子跑成那样，它们的质量非常大，但是它们的速率不会超过光速。

现在让我们进一步看看质量相对变化的结果。考虑一下一个小型气罐里的分子运动。当气体被加热，分子的速率会增加，因此质量也会增加，气体会变重。表示质量增加的一个近似公式可以通过在一个幂级数中扩展 $m_0/\sqrt{1-v^2/c^2}=m_0(1-v^2/c^2)^{-1/2}$ 得到，运用二项式定理。于是

\[m_0(1-v^2/c^2)^{-1/2}=m_0(1+\frac{1}{2}v^2/c^2+\frac{3}{8}v^4/c^4+\cdots)\]

我们可以从公式中很清楚地看到幂级数在迅速地收敛，当 $v$ 很小时，而且在前两个，或者前三个之后的元素很小。所以我们可以写作

eq-15-11

\[m \cong m_0+\frac{1}{2}m_0v^2(\frac{1}{c^2})\]

其中右边的第二个元素表示分子的速度导致的质量增长。当温度增高， $v^2$ 同比增加，所以我们可以说，质量的增加与温度的增高成正比。但是因为 $\frac{1}{2}m_0v^2$ 是旧的牛顿场景里的动能，我们也可以说整个气体的质量增长等于动能的增长除以 $c^2$ ，或者 $\Delta{m}=\Delta{(K.E.)}/c^2$ 。