爱因斯坦相对论与牛顿相对论的主要区别在于在相对移动的系统之间关联坐标系与时间的变换定律不一样。正确的洛伦兹的变换定律是
\[\begin{aligned} x' &= \frac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}}, \\ y' &= y, \\ z' &= z, \\ t' &= \frac{t-ux/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \end{aligned}\]这些等式对应于相对简单的情况，两个观测者的相对运动沿着他们的 x-轴。当然其他方向的运动也是有可能的，但是大部分通用的洛伦兹变换相当复杂，这四个值全都混合在一起。我们应该继续使用这个简单的格式，因为它包含了相对论的所有基本特征。
现在让我们讨论有关这个变换的更多结论。首先，反向解答这些等式很有趣。这里有一些线形等式，四个等式带着四个未知数，它们可以反向求解，用 $x’,y’,z’,t’$ 表示 $x,y,z,t$ 。这个结果非常有趣，因为它告诉了我们从“正在移动”的视角去看，一个“静止”的坐标系看起来是怎样的？当然，因为这些运动是相对的，并且是匀速的，“正在移动”的那个人，如果他愿意的话，他可以说另一个伙计正在移动，而他是静止的。因为那伙计正沿着相反的方向移动，他应该得到相同的变换，但是速度的符号相反。这正是我们通过计算所得到的，所以它是一致的。如果不是这样的话，我们就该头疼了！
eq-16-2
\[\begin{aligned} x &= \frac{x'+ut'}{\sqrt{1-u^2/c^2}}, \\ y &= y', \\ z &= z', \\ t &= \frac{t'+ux'/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \end{aligned}\]接下来我们讨论在相对论中有趣的速度加法问题。我们回忆一下最初的谜题之一，光在所有的系统中以 $186,000 mi/sec$ 移动，即使是在相对运动中。下面将展示一个更加通用问题的特殊示例。假设在一个飞船内部的一个物体正以 $100,000 mi/sec$ 移动，飞船自己正以 $100,000 mi/sec$ 移动；从外面的一个观测者的视角去看，在飞船内部的物体的速度是多少？我们或许想说 $200,000 mi/sec$ ，它比光速更快。这相当令人沮丧，因为它不可能超过光速！这个通用的问题如下所述。
让我们假设飞船内部的物体，从内部的人的视角去看，正以速度 $v$ 移动，而飞船自身相对于地面的速度是 $u$ 。我们想要知道从地面上的人的视角去看，这个物体的速度 $v_x$ 是多少。这个，当然是一个特殊示例，它的运动仍然沿着 x-轴。在 y-方向上，或者在任意角度，也会存在一个速度的变换；如果需要的话，它们可以被算出来。在飞船内部，速度是 $v_x’$ ，这意味着位移 $x’$ 等于速度乘以时间：
eq-16-3
\[x'=v_{x'}t'\]现在我们只需要计算由外面观测者所看到的一个物体的位置与时间是多少，这个物体拥有关系式 16.2，它包含 $x’$ 和 $t’$ 。所以我们简单地把 16.3 代入到 16.2，得到
eq-16-4
\[x=\frac{v_{x'}t'+ut'}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\]但是在这儿，我们发现 $x$ 是由 $t’$ 表示的。为了得到由外面的人所看到的速度，我们必须用他的距离除以他的时间，不是其他人的时间！所以我们也必须计算外面看到的时间
eq-16-5
\[t=\frac{t'+u(v_{x'}t')/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\]现在我们必须要找到 $x$ 与 $t$ 的比
eq-16-6
\[v_x=\frac{x}{t}=\frac{u+v_{x'}}{1+uv_{x'}/c^2}\]平方根被抵消了。这就是我们寻找的定律：最后的速度，两个速度的“和”，不是两个速度的代数之和（我们知道它不可能是，否则我们会有麻烦），而是由 $1+uv/c^2$ “修正”。
现在让我们看看发生了什么，假设在飞船内部你正以光速的一半移动，飞船自身正以光速的一半移动。因此 $u$ 是 $\frac{1}{2}c$ ， $v$ 是 $\frac{1}{2}c$ ，但是在分母中， $uv$ 是四分之一，因此
\[v=\frac{\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}c}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5}c\]所以，在相对论中，“一半”加“一半”不是“一”，而是“4/5”。当然，低速可以用熟悉的方式，非常容易地相加，因为只要速度相比于光速很小，我们可以忘记 $1+uv/c^2$ 因子；但是在高速时，事情就变得很不一样，也很有趣。
让我们举一个受限的例子，假设在飞船内部，有人在观测光。换言之， $v=c$ ，飞船也在移动。对于地面上的人来说，它看起来是什么样的？答案是
\[v=\frac{u+c}{1+uc/c^2}=c\]因此，如果某个东西在飞船内部以光速运行，那么从地面上的人的视角去看，它也会以光速运行！实际上，这正是爱因斯坦的相对论理论最初被设计时所做的——所以它真的很棒！
当然，在一些情况里，运动并不是沿着匀速运动的方向。比如，在飞船内部的一个物体或许仅仅是在以速度 $v_{y’}$ “向上”移动（相对于飞船），而飞船正在“水平”地移动。现在我们再简单地走一遍流程，仅使用 $y$ ，而不是 $x$ ，结果是
\[y=y'=v_{y'}t'\]所以如果 $v_{x’}=0$ ，那么
\[v_{y'}=\frac{y}{t}=v_{y'}\sqrt{1-u^2/c^2}\]因此一边的速度不再是 $v_{y’}$ ，而是 $v_{y’}\sqrt{1-u^2/c^2}$ 。我们通过替换、合并变换等式，得到了这个结果，我们也可以从相对论原理中直接看到该结果，出于下列的原因（经常回过头去看看我们是否能发现原因是一件很棒的事情）。我们已经看到（Fig.15-3）一个时钟在它移动时是如何工作的；在固定的系统中，光看起来以速率 $c$ 沿着一个角度运动，同时，在移动的系统中，它以相同的速率做着垂直运动。我们发现在固定系统中速度的垂直部分比光速小，因子是 $\sqrt{1-u^2/c^2}$ （Eq.15.3）。但是现在假设我们让一个粒子在这个相同的“时钟”里循环往复地运动，以光速的 $1/n$ （Fig.16-1）。