爱因斯坦与牛顿的相对论的主要区别在于相对运动中的坐标与时间的变换定律不同。正确的应该是洛伦兹变换定律，
eq-16-1
\[\begin{align*} x' &= \frac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\ y' &= y \\ z' &= z \\ t' &= \frac{t-ux/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \end{align*}\]这些等式对应于比较简单的情况，其中的两个观测者的相对运动都是沿着它们的 x-轴。当然有可能是其他方向，但是最通用的洛伦兹变换相当复杂，一共有四个数值混在了一起。我们会继续使用上面简单的方程组，因为它包含了相对论的全部基本特点。
现在让我们讨论这个变换的更多结果。首先，很有趣的是可以反向求解。譬如，有一组线性方程组，有四个未知量，我们可以求解 $x,y,z$ 。这个结果很有意思，因为它告诉我们一个“静止”的坐标系，从一个正在移动的视角去看，是什么样的。当然，由于运动是相对的且匀速的，正在移动的人会说，如果他愿意的话，另一哥们儿正在移动，而他自己处于静止。因为他在以相反的方向运动，他会得到相同的变换，但是速度的符号相反。那是我们通过计算发现的，它们是一致的。如果不是，我们就该操心了！
eq-16-2
\[\begin{align*} x &= \frac{x'+ut'}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\ y &= y' \\ z &= z' \\ t &= \frac{t'+ux'/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \end{align*}\]接下来我们讨论在相对论中有趣的速度求和。我们回忆一下之前的一个谜题，光在所有的系统中以 $186,000 mi/sec$ 移动，即使是在相对运动中。下面是一个特殊的、更加通用的典型示例。假设在一艘飞船内的一个物体在以 $100,000 mi/sec$ 移动，飞船在以 $100,000 mi/sec$ 移动；那么在这艘飞船里的物体，从外面的一个观测者的视角去看，有多快？我们或许想说 $200,000 mi/sec$ ，它比光速更快。这让人感到不安，因为它不可能超过光速！请接着往下看。
让我们假设在飞船内的物体，从内部的人的视角来看，是以速度 $v$ 在移动，而飞船相对于地面的速度是 $u$ 。我们想知道这个物体的速度 $v_x$ ，从在地面上的人的视角去看，是多少。这仍然是一个特殊的例子，运动是沿着 x-方向上。也存在 y-方向上的速度变换，或者是任意的角度，它们可以根据需要计算出来。在飞船内部，速度是 $v_{x’}$ ，这意味着位移等于速度乘以时间。
eq-16-3
\[x'=v_{x'}t'\]现在我们只需要计算物体的位置和时间，从外面的观测者的视角去看，是多少，它有 $x’$ 与 $t’$ 的关系式（16.2）；所以我们把 16.3 代入到 16.2，得到
eq-16-4
\[x=\frac{v_{x'}t'+ut'}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\]但是我们在这儿发现 $x$ 是用 $t’$ 表示的。为了获得外面人所看到的速度，我们必须用他的距离除以他的时间，不是别人的时间！所以我们必须要求得外面人所看到的时间，
eq-16-5
\[t=\frac{t'+u(v_{x'}t')/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\]现在我们必须要计算 $x$ 与 $t$ 的比，
eq-16-6
\[v_x=\frac{x}{t}=\frac{u+v_{x'}}{1+uv_{x'}/c^2}\]平方根抵消了。这就是我们寻找的定律：最终的速度，两个速度的“和”，它不仅仅是两个速度的代数和（我们知道它不可能是，否则我们就会有麻烦），它被 $1+uv/c^2$ “修正”。
现在让我们看看发生了什么。假设你在飞船内部，正在以光速的一半移动，飞船本身在以光速的一半移动。所以 $u$ 是 $\frac{1}{2}c$ ， $v$ 是 $\frac{1}{2}c$ ，但是在分母中的 $uv$ 是 $\frac{1}{4}$ ，所以
\[v=\frac{\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}c}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5}c\]所以，在相对论中，“一半”加上“一半”不是“一”，而是“ $\frac{4}{5}$ ”。当然，在较低的速度时，可以用熟悉的方式、很简单地求和，因为只要速度相对于光速很小，我们可以忘掉因子 $1-uv/c^2$ ；但是在较高的速度时，事情就变得很不一样，而且很好玩。
让我们举一个极限的示例。假设在飞船内部的人在观测光。换言之， $v=c$ ，同时飞船正在移动。对于地面上的人，它是什么样的？答案是
\[v=\frac{u+c}{1+uc/c^2}=c\frac{u+c}{u+c}=c\]因此，如果某物在飞船内部，以光速在移动，它看起来也会以光速在移动，从地面上的人的视角来看。这太棒了，实际上，它就是爱因斯坦的相对论理论在第一次设计时所做的——所以它必然如此!
当然，存在一些情况，运动不是沿着统一的方向。譬如，在飞船内部的物体可能会以速度 $v_{y’}$ “向上”运动，相对于飞船，飞船在“水平”地移动。现在我们再走一遍流程，仅使用 $y$ ，不用 $x$ ，结果是
\[y=y'=v_{y'}t'\]如果 $v_{x’}=0$ ，那么
\[v_y=\frac{y}{t}=v_{y'}\sqrt{1-u^2/c^2}\]因此一边儿的速度不再是 $v_{y’}$ ，而是 $v_{y’}\sqrt{1-u^2/c^2}$ 。我们通过替换以及合并变换的方程组，求得该结果，但是出于下面的原因（回看一下是否能找到原因，很不错），我们也可以从相对论原理中直接看到该结果。我们已经看到（Fig.15-3）一个时钟如何工作，当它在移动时；
