现在让我们回到洛伦兹变换（15.3），尝试更好地理解 $(x,y,z,t)$ 与 $(x’,y’,z’,t’)$ 坐标系之间的关系，我们分别称它们为 $S$ 和 $S’$ 系统，或者乔和莫系统。我们已经注意到第一个等式是基于沿着 x-方向上收缩的洛伦兹提议；我们该如何证明收缩会发生？在迈克耳孙-莫雷实验中，我们现在知道垂直的 BC 不会改变长度，根据相对论的原理；但是实验的零结果要求时间必须是相等的。为了达到零结果，BE 就一定得缩短，平方根 $\sqrt{1-u^2/c^2}$ 。这个缩短的含义是什么，与乔和莫做的测量有关吗？假设莫随着 $S’$ 系统沿着 x-方向运动，他正在拿着一根一米长的尺子测量某个点的 $x’$ -坐标。他量了 $x’$ 次，所以他认为这个距离是 $x’$ 米。但是从 $S$ 系统中乔的视角来看，莫使用的是一根缩短的尺子，“真实的”距离应该是 $x’\sqrt{1-u^2/c^2}$ 。如果 $S’$ 系统相距 $S$ 系统移动了一段距离 $ut$ ，那么位于 $S$ 的观测者眼中的相同的点，经由他的坐标系所测量的距离是 $x=x’\sqrt{1-u^2/c^2}$+ut ，或者

\[x'=\frac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\]

这是洛伦兹变换的第一个等式。