在上一章节中，我们带来了很多新的观点，还有不少结论，它们在物理中扮演着核心的角色。这些观点非常重要，值得我们会花费一整个章节更加认真地对待它们。在这儿，我们不会做重复的“证明”或者涉及推导结论会用到的特殊技巧，而是聚焦于讨论这些观点本身。

在学习与数学相关的任意一门自然学科中，有人会遇到需要理解并记住大量的事实以及观点的任务，它们可以由明确的关系维系，这些关系可以被“证明”存在于它们之中。证明本身与它所建立的联系很容易让人感到困惑。很明显，重要的是了解并记住这种联系，而不是证明。在任意的情形中，要么我们会说“它表明”这个和那个是对的，要么我们会证明它。在几乎所有的例子里，用到的证明给人以假象，首先，在黑板或纸上可以把它迅速、方便地书写出来，看起来似乎很丝滑。但是，作者可能花费了数个小时尝试了各种方法计算相同的东西，直到找到了最简洁的，这样才能够使它以最短的时间被展示出来！当看到一个证明，需要记住的不是证明本身，而是证明所揭示出来的，这个和那个是对的。如果证明包含某些数学进程或技巧，是之前所未见的，那么注意力根本不应该放在技巧上，而应该放在被包含的数学概念上。

自从作者开始学习物理，他根本记不住像这样的一个课程中提及的所有的论证。与之相反，他只需记住这个和那个是对的，在必要的时候，他会写一个论证去解释它是啥样的。任何人想要真正地学习一门学科应该遵循类似的方法，而无需记住证明。这就是为什么，在这一章节，我们会避免像上一章节那样做各种论证，而只会做一些总结。

第一个需要被消化的观点是由一个作用力做功。物理单词“work”不是通常理解的“Workers of the world unite!”中的单词，而是另一个意思。物理的功被表示为 $\int \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{s}$ ，被称为 “F 点 ds 的曲线积分”，它意味着如果作用力沿着一个方向，正在做功的力作用的物体会沿着一个确定的方向发生位移，那么只有沿着位移方向上的作用力的部分才会做功。如果作用力是恒定的，位移是一段有限的距离 $\Delta \boldsymbol{s}$ ，那么让物体通过该距离所做的功仅仅是沿着 $\Delta \boldsymbol{s}$ 的作用力的部分乘以 $\Delta{s}$ 。这条规则是“作用力乘以距离”，但是我们真正想说的是沿着位移方向上的作用力的部分乘以 $\Delta{s}$ ，或者，相等地，沿着作用力方向上的位移的部分乘以 F 。当作用力与位移成直角时，不做任何的功。

现在如果向量位移 $\Delta \boldsymbol{s}$ 被拆分为部分，也就是说，如果真实的位移是 $\Delta \boldsymbol{s}$ ，我们可以把它当作，一个在 x-方向上的位移部分 $\Delta{x}$ ，在 y-方向上的 $\Delta{y}$ ，在 z-方向上的 $\Delta{z}$ ，那么物体从一个地方移动到另一个地方所做的功可以由这三个部分计算出来，通过计算沿着 x 做的功、沿着 y 的以及沿着 z 的。沿着 x 所做的功仅包含作用力的那个部分，也就是 $F_x$ ，等等，所以功是 $F_x\Delta{x}+F_y\Delta{y}+F_z\Delta{z}$ 。当作用力不是恒定的，我们有一个复杂的曲线运动，我们需要把路径拆分成许多小的 $\Delta \boldsymbol{s}$ ，把物体沿着每一个 $\Delta \boldsymbol{s}$ 所做的功相加，把极限设为 $\Delta \boldsymbol{s}$ 趋近于零。这就是“曲线积分”的含义。

我们刚刚所说的一切都被包含在公式 $W=\int \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{s}$ 中。它是一个非常棒的公式，但是理解它是另一回事儿，或者由此得到了哪些结论。

物理中的单词“work”与通常情况里的单词所表达的意思区别很大，它需要仔细地观测，在一些奇怪的场景中，它看起来并不相同。举个例子，根据功的物理定义，如果有人从地面上举起一百磅的重物，并坚持一会儿，他没有做功。然而，所有人都知道他会流汗、颤抖、呼吸急促，就好像他在向上攀爬楼梯。向上爬楼梯被认为是在做功（下楼梯也是在做功，根据物理），但是只在一个固定的位置维持一个物体，不做任何的功。很明显，功的物理定义不同于生理定义，其中的原因我们会作简短说明。

实际上，当一个人维持一个重物，他做了“生理”的功。为什么他会流汗？为什么他需要消耗食物才能举起重物？为什么在他内部的系统会全速运转，仅仅是为了把重物举起来？其实，把重物放在桌子上，不产生任何作用，桌子，平稳、静止，不供给任何能量，就能够把相同的重物维系在相同的高度！生理的状况有点类似下面的。在人的身体和其他动物中，有两种类型的肌肉：一种被称之为横纹肌或骨骼肌，比如，在我们的胳膊中就有这种类型的肌肉，它受到自主意识的控制；另一种，被称之为平滑肌，像是在肠子中的肌肉，或者，在蛤蜊中，闭合外壳会用到的闭壳肌。平滑肌运作地非常缓慢，但是它可以保持一种“设置”；也就是说，如果蛤蜊尝试在一个确定的位置闭合它的外壳，它能够保持在该位置，即使有一个很大的作用力尝试改变它。它会在负载之下保持在一个位置长达数小时，而不会感到疲惫，因为这很像维持重物的桌子，它“设置了”一个确定的位置，分子似乎暂时性地锁住，不做任何的功，不产生任何的效果。我们举起重物会产生效果实际上是由于横纹肌的设定导致的。当一个神经冲动抵达一条肌肉纤维会发生什么，纤维会做一点儿收缩，然后放松，因此当我们举起重物时，规模庞大的神经冲动成排地发射，涌入到肌肉，它会大量地收缩，维持着重物，同时其他的纤维放松下来。我们可以看到这个现象：当我们维持一个重物，会感到疲惫，于是我们会开始颤抖。原因是齐射会不规律地到来，肌肉感到疲惫，无法快速地作出响应。为什么会有如此低效的设计？我们并不清楚，但是进化没有开发出快速地平滑肌。平滑肌在维持重物方面更加地有效，因为你只需要站在那儿，它就会锁住；期间不做任何功，也无需任何能量。然而，它的缺点是它运作地非常缓慢。

现在回到物理，我们或许会问为什么我们想要计算做的功。答案是它不仅有趣而且有用，因为在一个粒子上由作用在它上面的整体作用力所做的功完全等于粒子动能的变化。也就是，如果一个粒子被推动，它会提升速度，

\[\Delta (\boldsymbol{v}^2)=\frac{2}{m}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{s}\]