即使我们粗略地知道了速率，这里依然有一些相当深奥的细节问题；希腊学者从来都没能给出令人信服的涉及速度问题的阐释。这些细微之处可以让我们透彻地理解什么是速率。希腊人对此非常困惑，一个新的数学分支被发现，其不同于几何、希腊代数、阿拉伯代数以及巴比伦的。因为阐述比较困难，我们尝试使用 sheer algebra 处理：一个气球在充气，气球的体积以每秒 100 立方厘米的速率增长；那么当体积达到 1000 立方厘米时其半径的增长速率是多少？希腊人拎不清类似的问题。为了展示时间速率在逻辑上存在的困难，芝诺制造了很多的悖论，我们会提及其中之一，它阐述了我们在思考运动时会遭遇不小的困难。“听着，”，他说，“下面有一个争论：阿喀琉斯跑起来比一只陆龟快 10 倍，他却永远无法追上它。”因为在比赛伊始，乌龟在阿喀琉斯前方 100 米处；当阿喀琉斯跑了 100 米，到达了乌龟曾经的位置时，乌龟前进了 10 米，它跑了十分之一。现在，阿喀琉斯需要再跑 10 米才能追上乌龟，但是在他跑完后发现乌龟仍然领先他 1 米；再跑 1 米，乌龟领先他 10 厘米…因此在任何时候乌龟总是领先于阿喀琉斯，阿喀琉斯永远都追不上乌龟。“这是为什么，哪里错了？” 有限数量的时间可以被分解成无限数量的片儿，就像一条线重复地除以 2 可以被分成无限的数量。阿喀琉斯追逐乌龟（在这个争论中）虽然存在无限多的步骤，但是并不意味着时间是无限的。我们通过这个示例可以看出在有关速率的思考中的确存在某些细微之处。

为了更加清晰地展示这些细节，我们讲一个你之前肯定听过的笑话。有一个开车的女士被警察拦了下来，警察走过来，对她说：“女士，你刚刚跑了一小时 60 英里！”她说，“这怎么可能呢，先生。我仅仅开了 7 分钟，既然没有 1 个小时，又何谈 60 英里？”如果你是那个警察，你该怎么回复她？当然，如果你真是那个警察，或你会直接说，“我懒得理你！”但是如果我们没有逃避，让我们给予其更加诚实、机智地回击，我们需要向这位女士讲明白一小时 60 英里是什么意思。我们说，“接下来如果你以相同的方式继续前行，在一小时之后，你会跑到 60 英里。”她说，“好吧，我的脚松开了油门，车已经减速，如果保持这个状态，它是无法达到 60 英里的。”或许，让我们想一想正在坠落的球体，如果我们想知道在 3 秒时它的速率，假设球体延续着它的运动。我们说的是持续加速，越跑越快吗？不——是保持相同的速度。这就是我们想要讲明白的！一个球体保持着它的运动方式，那么它将继续保持下去。我们需要更好的定义速度。是维持什么相同。女士或许会争辩道，“如果我像这样保持下去一个小时，我会撞进街尾的墙里！”很难讲清楚我们想说的是什么。

许多物理学家认为度量可以定义一切。很明显，我们应该使用设备测量速率——车速表，我们说，“看吧，女士，你的车表显示 60。”她说，“我的车表坏了，根本无法读取。”这是否意味着汽车处于静止状态？在修好车表之前，我们肯定可以测量某些东西。我们会说，诸如，“车表不工作了，”或者，“它坏了。”如果速度无法独立于车速表，那么这些言语毫无意义。所以我们自然会想到，是否有一个点子可以不依赖车速表，而车表只是拿来测量它的。让我们看看能否给予其更好的定义。我们说，“好吧，在你开 1 小时之前，你就会撞到那堵墙。但是如果你行驶 1 秒钟，你会达到 88 英尺；女士，你每秒行驶 88 英尺，如果你继续下去，下一秒，它还是 88 英尺，那堵墙离这儿远着哪。”她说，“可是，法律并没有限制每秒行驶 88 英尺，它只是说不能跑一小时 60 英里！”我们回应道，“它们是一样的。”如果是一样的，就没有必要搞得这么麻烦。实际上，坠落的球体哪怕连一秒钟都无法保持相同的状态，因为其速率一直在变化，我们需要采用某种方式定义速度。

现在，我们看起来走上正道儿了；事情是这样运转的：如果女士保持运行一个小时的 1/1000，那么她将达到 60 英里的 1/1000。换句话说，她不需要坚持跑完整个一个小时；关键点是在这一刻她是以那个速率行驶的。如果我们在时间上多跑一点会怎么样，她额外行驶的距离与一辆汽车以稳定的速率一小时 60 英里行驶的是一样的。也许每秒行驶 88 英尺的点子是正确的；用她最后一秒行驶的距离除以 88 英尺，如果结果是 1，那么速率就是一小时 60 英里。换句话说，我们可以用这种方式发现速率；我们询问，在很短的时间里我们会跑多远？我们把距离除以时间，然后得到速率。但是时间应该选取的尽可能的小，越小越好，因为在期间会发生某些变化。对于一个坠落的物体，如果我们选择以小时作为单位，这很愚蠢。如果我们选择以秒作为单位，对于一辆汽车来说会很棒，因为在速率上不会有很多变化，但是并不适用于坠落的物体；所以为了让速率越来越精确，我们选取的时间间隔应该越来越小。我们选取一秒的百万分之一，测量出汽车行驶的距离，然后把距离除以一秒的百万分之一。结果是每秒距离，这就是我们想说的速度，我们可以通过这种方式定义。对于女士来讲，这是一个让人满意的答案，接下来我们也会使用它。

上一个定义包含了一个新的点子，这个点子并不适用于希腊的通用格式。它采用极小的距离和对应的极小时间，形成占比，然后观察该占比随着我们使用的时间变得越来越小越来越小会发生什么。换句话说，采用了一个行径距离的极限除以要求的时间，伴随的时间变得越来越小…这点子分别由牛顿和莱布尼茨独立发明，它开创了一个新的数学分支，被称之为微分学。微积分被发明出来阐述运动，它的第一个应用是解释“一小时跑 60 英里”是什么意思。

让我们再更好一点地定义速度。如果在一个很短的时间， $\epsilon$ ，汽车或其他物体跑了很短的距离， $x$ ，然后速度就可以被定义为 \(v=x/\epsilon，\)

随着 $\epsilon$ 选取的越来越小，近似值会变得越来越好。如果一个数学表达式是符合预期的，我们可以说速度等于伴随着表达式 $v=x/\epsilon$ 中的 $\epsilon$ 变得越来越小的极限，或者

eq-8-3

\(v=\lim_{\epsilon \to 0}\frac{x}{\epsilon}\)

我们无法将其应用到车里的女士身上，因为表格是不完整的。我们仅仅知道在一分钟的间隔里她在哪里；我们大致有一个看法，在第 7 分钟期间她的运行速率是 5000 ft/min，但是我们无法精确地知道，在哪一个时刻，她是否加过速，也许在第六分钟刚开始，她的速率是 4900 ft/min，而现在是 5100 ft/min，或者是其他什么的，我们缺少准确的细节。所以除非表格是完整的，里面填充了无限多的条目，我们才能真正地计算速度。换句话说，如果我们有一个完善的数学公式，像坠落的物体那样（Eq.8.1, $s=16t^2$ ），然后才有可能计算速度，因为我们能够计算其在任意时间点的位置。

让我们举一个示例，它可以定义一个坠落的球体在特定的时间第 5 秒处的速度。有一个方式是在表格 8-2 中查看它在第 5 秒处做了什么；它跑了 400 - 256 = 144 ft，所以它的运行速率是 144 ft/sec；然而这是错的，因为速率一直在变化；在该间隔内，它的均值是 144 ft/sec，但是球体一直在加速，实际上它跑的比 144 ft/sec 更快。我们想要精确地知道有多快。在该进程中包含的技巧如下：我们知道在 5 秒处球体的位置。在 5.1 秒处，它下落的整体距离是 $16(5.1)^2=416.16$ ft (参考 Eq.8.1)。在 5 秒处它已经坠落了 400 ft；在一秒的十分之一它坠落了 416.16-400=16.16 ft。0.1 秒的 16.16 ft 与 161.6 ft/sec 是一样的，这差不多就是它的速率，但是不够准确。这个速率是其在 5 秒处，或者在 5.1 秒处，又或者在中间，5.05 秒处的速率吗？不要介意，我们的问题是找到其在 5 秒处的速率，而现在我们做的还不好，需要更进一步。所以，我们选取一秒的一千分之一，也就是 5.001 秒，然后计算它的整体坠落是 \(s=16(5.001)^2=16(25.010001)=400.160016 ft\)

在最后 0.001 秒处球体坠落了 0.160016 ft，如果我们把这个数字除以 0.001 秒，我们将得到的速率为 160.016 ft/sec。它更加接近了，但是依旧不够准确。现在已经很明显了，为了获得准确的速率，我们需要做什么。让我们把问题描述地更加抽象一点：想要获得在特定的时间 $t_0$ 处的速度，在原始的问题中是 5 秒处。现在在 $t_0$ 处距离，我们称之为 $s_0$，是 $16{t_0}^2$ ，或者在这个实例中是 400 ft。为了获得速度，我们问，“在时间 $t_0+$ (一点点)，或者 $t_0+\epsilon$ ，物体在哪里？”新的位置是 $16(t_0+\epsilon)^2=16{t_0}^2+32t_0\epsilon+16{\epsilon}^2$ ，所以它比之前长，之前是 $16{t_0}^2$ 。这个距离我们应该称其为 $s_0+$ (一点点)，或者 $s_0+x$ （x 为额外的一点）。如果我们从 $t_0+\epsilon$ 处的距离减去 $t_0$ 处的距离，我们会得到额外的距离 $x$ ， $32t_0\cdot{\epsilon}+16{\epsilon}^2$ 。我们对于速度的首个近似是 \(v=\frac{x}{\epsilon}=32t_0+16\epsilon\)

真正的速度就是这个占比的值， $x/\epsilon$ ，当 $\epsilon$ 变得非常非常的小。换句话说，在有了占比之后，我们采用伴随着 $\epsilon$ 变得越来越小的极限，它趋近于零。等式可以简化为 \(v=32t_0\)

在我们的问题中， $t_0=5$ sec，所以答案是 $v=32\times{5}=160$ ft/sec。在上面几行中， $\epsilon$ 连续取值 0.1 sec、0.001 sec，所得到的速度要比这个值大一点，但是我们看到当前速度的精确的值是 160 ft/sec。