为了使用牛顿定律，我们必须有某种与力相关的公式；这些定律要我们留意作用力。如果一个物体正在加速，某些东西在起作用；去找到它。我们的项目有关动态的未来，必须要找到作用力的定律。牛顿曾给出了一些示例。在引力的例子中，他给出一个有关力的明确的公式。在其他力的例子中，牛顿（在他的第三定律中）给出了某些部分信息，我们会在下一章学习，涉及相等的作用与反作用。

扩展我们之前的例子，在地表附近的物体上的作用力是什么？在地表附近，由引力导致的在垂直方向上的作用力与物体的质量成正比，相比于地球半径 R，它几乎独立于高度，作用力的表达式为： $F=GmM/R^2=mg$ ,其中 $g=GM/R^2$ 被称之为引力的加速度。因此引力定律告诉我们重量与质量成正比，力作用在垂直方向上，它是质量乘以 g 。我们再次发现在水平方向上的速度是一个常数。在垂直方向上引人注目的运动以及牛顿第二定律告知我们：

\[mg=m(d^2x/dt^2)\]

抵消掉 m ，我们发现在 x-方向上的加速度是常数，等于 g 。这就是众所周知的在引力作用下的自由落体的定律，它产生了下面的等式：

\[v_x=v_0+gt\] \[x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}gt^2\]

举另一个例子，如果我们可以构建一个装置，作用其上的力与位移成正比，与弹簧运动的方向相反。如果我们能忘了引力，当然它会被弹簧的初始张力平衡，让我们仅仅讨论额外的力，我们看到，如果我们把重物往下拉，弹簧会往上拉，当我们把它往上推，弹簧会往下拉。这个设备被设计的很精细，以致作用力越大，我们把它往上拉的就越多，它与从平衡点偏离的位移成正比，同样地，向上的作用力与我们往下拉的距离成正比。如果我们观察这个设备的动态变化，我们能看到一个非常美妙的运动，上，下，上，下，…问题是，牛顿的定律能正确地描述这个运动吗？让我们看看我们是否能够精确地计算伴随周期振动的运动，通过运用牛顿定律（eq.9.7）。在当下的瞬间，等式是：

\[-kx=m(dv_x/dt)\]

我们这儿有个情形，其中在 x-方向上的速度以一个与 x 成正比的速率改变。保留数值常数，什么都得不到，所以我们应该想到要么是时间的大小改变了，要么是在单位上出现了意外，正好我们有 $k/m=1$ 。因此我们应该可以解决这个等式：

eq-9-12

\[dv_x/dt=-x\]

想要继续，我们必须知道 $v_x$ 是什么，但是我们当然知道速度是位置变化的比率。